Cuadriláteros

Definición, tipos y propiedades

Cuadriláteros: son polígonos de cuatro lados.

Clasificación:

Los paralelogramos son los que tienen los lados opuestos paralelos, dos a dos. Se clasifican encuadrados (tienen los cuatro lados iguales y forman entre sí 90°), rectángulos (tienen cada conjunto de dos lados iguales y paralelos y forman todos entre sí 90°), rombos (tienen cada par de lados iguales entre sí alternando un ángulo igual y otro desigual. Sus diagonales son distintas y perpendiculares) y romboides (tienen cada par de dos lados iguales y paralelos, sus diagonales son distintas, y no forman 90° entre ellas).

Trapecios son los cuadriláteros que tienen dos lados paralelos entre sí. Se clasifican enrectángulos (tienen dos lados paralelos y dos ángulos rectos, sus diagonales son distintas y oblicuas), isósceles (tienen dos lados paralelos y sus ángulos son iguales dos a dos, sus diagonales son oblicuas e iguales) y escalenos (tienen los ángulos distintos y dos lados paralelos, sus diagonales son distintas y oblicuas).

Trapezoides son los que no tienen ningún lado paralelo.

Cuadrados

Un cuadrado es una figura formada por cuatro lados iguales.

Si como dato del cuadrado tenemos la diagonal e basta con hacer una circunferencia c tomando como centro el punto medio de la misma y como radio la mitad de la diagonal. Haciendo por el punto medio una recta perpendicular a a la diagonal dada, obtenemos en los dos puntos de intersección con la circunferencia los nuevos puntos del cuadrado.

Para construir un cuadrado dado el lado, hacemos centro en el punto medio M del lado dado tomando como radio la mitad del mismo MN, de esta manera hacemos la circunferencia c. Con el mismo radio hacemos otra circunferencia tomando como centro el punto N, ésta circunferencia b corta a la anterior en el punto O. Hacemos ahora centro en este punto y con el mismo radio otra circunferencia e que corta a la circunferencia b en el punto T. Haciendo por último centro en este punto T y con el mismo radio obtenemos una nueva circunferencia d que corta a la última e en el punto R. la recta que incide en los puntos N R es una porción del lado del cuadrado ortogonal al dado N M, para saber cuál es su punto final basta con hacer una circunferencia de centro N y radio el del lado del cuadrado, donde ésta corte a la línea RM tenemos el lado del cuadrado. Los otros dos lados del cuadrados se obtienen haciendo por los extremos de los lados que ya tenemos dos rectas perpendiculares a ambas.

Para construir un cuadrado c dada la diagonal más el lado, en el dibujo representado por la recta a, dibujamos un cuadrado m y su diagonal d, haciendo centro en el extremo inferior K de esta diagonal y tomando como radio la dimensión de la diagonal hacemos un arco hasta que corte a la prolongación de la base del cuadrado, de esta forma hemos obtenido d’, representado en el segmento de color rojo, la dimensión correspondiente al lado más la diagonal de un cuadrado cualquiera.

A continuación basta con transformar este segmento d’ en el segmento dado a mediante unahomotecia de centro O, alineando cada uno de los puntos de la figura superior obtenemos mediante paralelas las dimensiones del cuadrado c, proporcional al anterior.

Rectángulos

Para construir un rectángulo dados los dos lados a b, se colocan ambos ortogonalmente a partir del inicio de sus extremos y a continuación por cada uno de los otros extremos se hacen rectas paralelas c d a ambos, estos nuevos lados son en consecuencia también ortogonales.

Para construir un rectángulo dada la diagonal d y uno de los lados a, hacemos centro en el punto medio de la diagonal y construimos una circunferencia c cuyo diámetro sea la diagonal misma. En el extremo de la diagonal V colocamos el otro segmento a y hacemos centro en ese mismo punto tomando como radio del mismo el lado a y generando un nuevo arco que corta a la circunferencia en el punto J, el simétrico central Ñ de este punto J respecto al centro de la circunferencia es el otro vértice del rectángulo a determinar.

Rombos

Un rombo es una figura formada por cuatro triángulos rectángulos unidos por los vértices que están en ángulo recto. Si los cuatro lados del rombo tienen la misma dimensión la figura es un cuadrado. En un rombo los ejes de simetría siempre son ortogonales. Para calcular un rombo dados los dos ejes de simetría a b simplemente se unen los extremos de los mismos obteniendo así la figura MNPO. Si el dato que dan del rombo es un eje de simetría a, dos puntos MN y otro de los vértices O, simplemente se hace el simétrico P de este vértice respecto al eje a, obteniendo así el punto que falta.

Para calcular un rombo dado un segmento a y el ángulo adyacente g, se hace la bisectriz b de este ángulo g y por el extremo E del lado dado a se hace una recta perpendicular a la bisectriz obteniendo el vértice simétrico p. Haciendo centro en la intersección de la perpendicular y la bisectriz y tomando como radio la distancia desde este punto hasta el vértice O hacemos una circunferencia c que corta a la bisectriz del punto L, obteniendo de esta forma la figura.

Romboides

un romboide es un cuadrilátero que tiene sus lados paralelos dos a dos: el segmento o es paralelo al segmento p y el segmento m es paralelo al segmento n, sin ser ortogonales entre sí.

Dos segmentos consecutivos de la figura (por ejemplo los segmentos o n) nunca son iguales, si lo fueran tendríamos un rombo, de ello se desprende que sus ejes de simetría nunca son ortogonales.

Un romboide siempre se puede inscribir en un rectángulo de manera que los triángulos sobrantes (en color verde) se pueden transformar uno en el otro mediante una simetría central.

Trapecios

Un trapecio es un cuadrilátero formado por dos bases paralelas a b de distinto tamaño. Se transforma en un rombo cuando las dos bases tienen el mismo tamaño y en un rombo cuando los cuatro lados son iguales dos a dos, los correspondientes al ángulo adyacente que tienen cada par de segmentos.

Un trapecio isósceles es aquel que tiene dos lados cd iguales. Éstos lados iguales son simétricos respecto a un eje de simetría h que incide por los puntos medios de las bases ab de la figura.

Para calcular un trapecio isósceles dadas las dos bases a c y uno de los segmentos b, desplazamos la base a través del eje de simetría, estando ambas centradas sobre el eje, hasta que corta al lado b que gira tomando como centro la intersección H de los dos segmentos ab. La intersección del arco g de circunferencia del giro de este segmento b con el extremo de la otra base c determina el punto K, vértice de la figura que queríamos calcular, el otro vértice será el punto c' que es el simétrico del punto K respecto al eje de la figura.

Trapezoides

Un trapezoide es un cuadrilátero formado por cuatro segmentos desiguales.

Triángulos

Definición, tipos y propiedades

Un triángulo es una figura plana formada por tres rectas a las que se les llama lados. Cada par de lados forman un ángulo, la suma de los tres ángulos del triángulo es 180°.

En un triángulo cada lado es menor que la suma de los otros dos lados y mayor que la diferencia.

Clasificación: un triángulo escaleno tiene todos sus lados y ángulos desiguales, el equilátero los tiene todos iguales, y el isósceles tiene dos lados y dos ángulos iguales.

Respecto a los ángulos, los triángulos se clasifican en acutángulos si sus tres ángulos son agudos (menores de 90°), son rectángulos cuando tienen un ángulo recto (de 90°) y son obtusángulos cuando uno de sus ángulos es obtuso (que quiere decir que tiene un ángulo mayor de 90°).

Elementos de un triángulo:

La mediatriz es la recta perpendicular en el punto medio del lado del triángulo. Las tres mediatrices del triángulo se cortan en un punto llamado circuncentro.

La mediana de cada lado es la recta que une un vértice del triángulo con el punto medio del lado opuesto. Las tres medianas del triángulo se cortan en un punto de intersección llamadobaricentro.

La bisectriz de un ángulo es la recta que divide al mismo en dos partes iguales. La intersección de las tres bisectrices del triángulo es un punto llamado incentro.

La altura de un triángulo es la recta perpendicular desde un vértice del triángulo al lado opuesto. La intersección de las tres alturas del triángulo es un punto llamado ortocentro.

Un triángulo genérico o escaleno es aquel que tiene los tres lados y ángulos desiguales.

Para calcular un triángulo dados dos lados ab y un ángulo adyacente g a uno de ellos, se prolonga el lado del ángulo no adyacente hasta que corte al arco que define el otro lado b, tomando como centro N de ese arco el punto de intersección de los extremos de los cementos lados a b. El ejercicio tiene dos soluciones ya que la prolongación del lado que hay que calcular por el punto M intercepta a la circunferencia en dos puntos P O, que son los dos posibles vértices de los nuevos triángulos.

Para calcular un triángulo cualquiera dados sus dos lados a b y el ángulo g comprendido entre ellos basta con unir los extremos de los segmentos dados obteniendo el nuevo lado c del triángulo.

Para construir un triángulo escaleno dados un lado a y los dos ángulos adyacentes, se prolongan éstos hasta que se cortan en un punto P obteniendo de esta forma el triángulo.

Para calcular un triángulo cualquiera dados sus tres lados abc, a partir de los extremos PS de uno de los lados a colocamos los otros dos bc y haciendo centro en los extremos PS y tomando como radio la dimensión a b de los mismos hacemos dos arcos hasta que se corten en un punto Ñ que es el vértice del triángulo.

Teorema: si inscribimos un triángulo cualquiera en una circunferencia y calculamos su ortocentro, los puntos simétricos del ortocentro respecto a cada uno de los lados del triángulo son siempre tres puntos que están sobre la circunferencia circunscrita.

http://teoremas-de-geometria.blogspot.com.es

Triángulos equiláteros

Para construir un triángulo equilátero dado que el lado a, se hace centro en los extremos S K del segmento dado tomando como radio la medida del segmento. La intersección de ambas circunferencias -n,m- , determina el vértice del triángulo (el punto P).

Para construir un triángulo equilátero dada la altura h, hacemos primero un triángulo equilátero por el método anterior (dado un lado cualquiera MN perpendicular a h). A continuación marcamos la altura s en este triángulo y alineamos el vértice superior O de la altura s con el vértice superior O' de la altura dada h. Alineamos también el vértice J de la base del segmento dado s con el vértice de la base de h, esto es J'. En la intersección de las dos líneas a c obtenemos el vértice V, centro de la homotecia que transforma un triángulo en el otro: hacemos por J' una recta paralela a M N obteniendo la base del nuevo triángulo , en la intersección de esta recta con los dos rayos a, b, que son las líneas que pasan por V y MN obtenemos los vértices M'N'.

Triángulos isósceles

Para calcular un triángulo isósceles dados dos lados iguales ab y un ángulo contiguo g a uno de ellos a, se toma el vértice de uno de los dos segmentos como centro de la circunferencia, siendo el radio el mismo segmento a. Se coloca el ángulo g a partir del extremo del segmento y donde corta a la circunferencia la prolongación de su lado r obtenemos el vértice opuesto del triángulo.

Para calcular el triángulo isósceles teniendo como datos uno de los dos ángulos iguales g (en color naranja) y la base a o segmento desigual del triángulo, se hace el ángulo simétrico del dado, la prolongación de los dos lados superiores m n de los ángulos dados genera el vértice superior V del triángulo.






Para calcular un triángulo isósceles dado uno de los lados a y el ángulo desigual g, basta con hacer una circunferencia c tomando como centro el vértice P del ángulo g y tomando como radio el lado a del triángulo. La intersección de la circunferencia c con la prolongación del otro lado simétrico del triángulo genera el vértice T que falta del triángulo.

Para calcular un triángulo isósceles dados dos lados desiguales ab, hacemos un segmento vertical c por el punto medio de uno de ellos a y tomando el extremo de este segmento M y la longitud del otro b hacemos un arco hasta que corte al segmento vertical c en el punto P que es el nuevo vértice del triángulo.

Para calcular un triángulo isósceles dado el lado a y el ángulo opuesto g, se hace por el punto medio del lado dado a un segmento perpendicular al mismo y se centra sobre un punto aleatorio P de éste el ángulo dado, de manera que la perpendicular sea la bisectriz del ángulo dado g. Haciendo por los extremos del segmento MN rectas paralelas zx a las del ángulo dado obtenemos en su intersección el vértice superior v del triángulo.

Para calcular un triángulo isósceles dado el lado a y el ángulo opuesto g podemos utilizar el arco capaz.

Colocamos en la base del ladoa el ángulo dado g y hacemos por el vértice del segmento a una recta perpendicular p hasta que corte en O a la perpendicular m por el punto medio al segmento a. Todos los triángulos que tengan como vértice un punto de la circunferencia y el segmento dado tienen el mismo ángulo g, según el arco capaz pero sólo dos son isósceles, a saber, los que corresponden a la intersección de la recta m con la circunferencia.

Para calcular un triángulo isósceles m dado el ángulo desigual g y la suma s de la altura más la base, dibujamos un triángulo isósceles cualquiera con ese ángulo g y teniendo en cuenta que todos los triángulos isósceles que tienen el mismo ángulo desigual g son todos proporcionales, transformamos la base b en un segmento vertical b' mediante dos circunferencias. A continuación aplicamos una homotecia o cambio de escala de manera que alineamos la longitud total del segmento que es suma de los dos con la longitud total que acabamos de calcular, todos los puntos están alineados.

En el dibujo las dos bases de los triángulos aparecen alineadas, casualidad altamente improbable a la hora de resolver el ejercicio.

Triángulos rectángulos

Un triángulo rectángulo es aquel que tiene un ángulo recto. los lados que son ortogonales se llaman catetos y el otro hipotenusa.

Para calcular un triángulo rectángulo dado un lado a y el ángulo adyacente g, se prolonga el lado superior m del ángulo adyacente hasta que corte a la perpendicular p por el otro extremo V del lado dado a. En la intersección de las dos líneas m p obtenemos el vértice T del triángulo.

Para calcular un triángulo rectángulo dado por sus dos catetos ab, los unimos ortogonalmente por sus extremos y hacemos una recta c que pase por los otros dos extremos, está recta es la hipotenusa c o lado que falta del triángulo.

Para construir un triángulo rectángulo dada la altura k (1 cateto) y la diferencia de la hipotenusa menos el otro cateto h-c, colocamos ambos segmentos ortogonalmente y en sus extremos PQ incidimos una recta a por la que hacemos la mediatriz m en cuya intersección con la prolongación de h-c obtenemos el punto S, vértice del triángulo que queríamos determinar (en el dibujo en color siena).

Para calcular un triángulo rectángulo dado un cateto b y la suma de otro cateto más la hipotenusa h+a, se unen los extremos PS de los dos segmentos dados mediante una recta c en la que calculamos la mediatriz m, donde esta mediatriz corta al segmento a+h obtenemos T, que es el vértice del triángulo que queríamos calcular (en color azul).

Para calcular los triángulos rectángulos dadas la hipotenusa b y la suma a de dos catetos, hacemos una circunferencia tomando como centro C el extremo de la hipotenusa b y como radio la dimensión de la misma. El segmento correspondiente a la suma de los catetos lo colocamos a partir del centro C de la circunferencia y por su otro extremo hacemos una línea a 45° que corta a la circunferencia en dos puntos V1 V2 que son los vértices de los dos triángulos iguales.

Para calcular un triángulo rectángulo dada la hipotenusa h y la diferencia de los dos catetos c1-c2, dibujamos por el extremo P del segmento correspondiente a la diferencia de los dos catetos una línea a 45° -en color azul. Colocamos la hipotenusa a partir de un vértice de este segmento y la giramos hasta que corta a la línea a 45° en S. Al hacer la circunferencia punteada de centro O y radio OS podemos comprobar que efectivamente el segmento c1-c2 es la diferencia de los dos catetos.

Para construir un triángulo rectángulo dado un cateto c y la hipotenusa h hacemos una circunferencia con centro O en el extremo del cateto y con radio el correspondiente a la longitud h de la hipotenusa. La intersección del arco de circunferencia m con la perpendicular k al cateto por su otro extremo intercepta el vértice T del triángulo que queremos calcular, (en color azul).

Polígonos regulares

http://poligonos-regulares-dinamicos.blogspot.com.es/

Método general para construir un polígono regular cualquiera dada la circunferencia en la que se inscribe:
Dada la circunferencia verde de diámetro ED, hacemos un arco con centro en E y con radio DE. Hacemos otro arco con centro en D y el mismo radio DE. La intersección de ambos arcos determina el punto C.
Dividimos el diámetro en el número de lados que va a tener el polígono, en este caso 9 y trazamos desde el punto C una recta que pase por el punto 2. La intersección de esta recta azul con la circunferencia verde nos determina el lado del eneágono, que va desde ese punto a D. A partir de aquí basta con repetir esa medida del lado a través de toda la circunferencia.


Para dividir el diámetro en 9 partes iguales, proyectamos una recta incidente en A de 9 cm sobre el diámetro dado. Unimos el punto 9 con el extremo del diámetro y por el punto 2 hacemos una recta con la misma dirección, donde corte al diámetro vertical es el punto cuya división es 2/9, o sea 2 unidades de 9.

Método general dado el lado AB:
Para construir un polígono regular dado el lado hacemos uno cualquiera a partir del método anterior y lo escalamos de la siguiente forma: sobre el lado AC del polígono que hemos construido colocamos el lado AB que nos dan. Por el punto B hacemos una vertical hasta que corte a la prolongación de la recta OC. Obtenemos así el punto B’ y el radio de la nueva circunferencia roja que contiene al polígono de lado AB buscado.

Triángulo dada la circunferencia:
Con el radio de la circunferencia dada desde A (intersección de la vertical con la circunferencia) y en ambos sentidos se hace un arco obteniendo B y C. El otro punto es la otra intersección con la vertical.


Dada la altura:
Centro en A y una circunferencia de radio aleatorio. Trazamos una horizontal por A y en los puntos de corte con la circunferencia hacemos otras 2 de igual tamaño. Los puntos de intersección BC determinan al unirlos con A los lados. Prolongamos AB y AC y donde corten a la horizontal trazada por el punto base de la altura obtenemos los otros dos puntos del triángulo.


Dado el lado MO:
Hacemos centro en M y en O con la longitud del lado. En la intersección de las circunferencias está el otro lado B

Cuadrado dada la circunferencia:
Se traza un diámetro AB. Por el punto medio se dibuja una perpendicular, sus intersecciones D y C con la circunferencia son los otros puntos del cuadrado.


Dado el lado BA:
Se traza una perpendicular a BA. Con centro en A y radio AB se hace un arco, donde corta a la perpendicular es otro punto del cuadrado D. Con centro en B y radio BA y con centro en D y radio BA, obtenemos dos arcos cuya intersección es C.


Pentágono
Dada la circunferencia roja de radio OA:
En el punto medio D del radio XO de la circunferencia dada hacemos una circunferencia ocre con el radio DA y de centro D. En la intersección de la circunferencia con la horizontal obtenemos M. Hacemos una circunferencia con centro en A y radio AM y donde corta a la dada en B y C, unimos estos puntos con A y tenemos dos lados del pentágono. Con ese radio y centro en B y C obtenemos los otros dos puntos,


Pentágono dado el lado AO:
Con centro en O y radio OA hacemos un arco hasta que corta a la vertical por O en T. Con centro en C radio CT hacemos otro arco asta que corta en M a la prolongación de AO. Con centro en A y radio AM hacemos un arco, donde corta a la vertical por C y donde corta al radio OT de centro O obtenemos 2 puntos del pentágono. Del último hacemos el simétrico respecto a CV y obtenemos el último punto del pentágono.
AM y AO están en proporción áurea, esto es el lado y la diagonal del pentágono.

Hexágono dada la circunferencia circunscrita.
Se parte de un punto cualquiera A situado en la circunferencia. Con centro en el punto A y el radio de la circunferencia, hacemos una circunferencia que corta a ésta en B F. En estos puntos hacemos lo mismo y obtenemos los demás puntos.



Hexágono dado el lado.
Con centro en el punto A y con centro en el punto B, extremos del lado dado AB y con el radio AB, se trazan 2 circunferencias que se cortan en el punto O, centro de la circunferencia circunscrita al hexágono. Con centro en el punto O y radio OA se traza una circunferencia que corta a los dos arcos anteriores en los puntos C D, que son vértices del hexágono. Con centro en C D y radio OA se determinan sobre la circunferencia circunscrita los vértices que completan el hexágono.


Construcción del polígono de siete lados (heptágono) dado el radio de la circunferencia circunscrita. Se traza el diámetro vertical y haciendo centro en el punto de corte con la circunferencia N, y con el radio de la circunferencia dada hacemos la circunferencia azul que corta a la amarilla en dos puntos, la mitad de este segmento es la distancia PM. La distancia del punto P al punto M es el lado del heptágono que se debe tomar sobre la circunferencia para construirlo.

Construcción del heptágono regular dado el lado. Nos dan el lado OT y hacemos centro en el punto T con la distancia OT. Este arco corta a la prolongación de OT en el punto V. Hacemos centro en el punto O con la distancia OV que corta a la vertical por T en N. Hacemos la bisectriz de las líneas OV ON y donde esta recta bisectriz corte a la circunferencia roja tenemos un punto de intersección, la distancia de ese punto al centro O es el radio de la circunferencia que inscribe al heptágono. Una vez que tenemos el radio hacemos dos arcos con centro en los puntos O T, donde se corten los arcos tenemos el centro de la circunferencia amarilla por la que tomamos el lado sucesivamente siete veces sobre la misma.



Construcción del octógono regular conocido el radio de la circunferencia circunscrita.
Se trazan los diámetros horizontal y vertical y se hace la bisectriz de ambos, donde esta bisectriz corte a la circunferencia en M tenemos de la distancia de este punto al punto N, intersección del eje vertical con la circunferencia, es el lado del octógono.

Construcción del octógono regular dado el lado. Se traza una circunferencia cuyo diámetro sea el lado, corta a la vertical por el centro del lado en el punto P, se hace centro en este punto tomando como radio la distancia de él al extremo del lado dado, de esta forma hacemos la circunferencia roja que intercepta a la vertical en el centro de la circunferencia que inscribe al polígono. A partir de aquí se va tomando la medida del lado por la circunferencia.

Construcción del eneágono dado el radio de la circunferencia circunscrita. Se hace en los ejes ortogonales y donde la vertical corta a la circunferencia dada (en el punto Q) hacemos centro con el radio de la misma, de esta forma hacemos el arco amarillo que corta a la circunferencia dada en el punto R. Haciendo centro en el punto diametralmente opuesto de Q sobre la circunferencia, hacemos la circunferencia azul empezando el arco a partir del punto R hasta que corta al diámetro horizontal en el punto S. Haciendo centro en el punto S y tomando como radio la distancia SQ hacemos el arco rojo hasta que corta al diámetro horizontal en el punto N. Tomando centro en el punto P, intersección del diámetro horizontal con la circunferencia dada, y con la distancia PN hacemos el arco verde que corta a la circunferencia dada en un punto que, desde él hasta el punto P determina el lado del polígono.

Construcción del eneágono dado el lado. Nos dan el lado QO, pinchamos en esos dos puntos tomando como radio la medida del lado y construimos la circunferencia azul y amarilla. La intersección de las dos circunferencias determina el punto C. Tomamos la mitad de la longitud del segmento QO y la trasladamos hasta el punto C. Haciendo centro en el punto C y tomando como radio la mitad del segmento QO, hacemos un arco que corta a la vertical en el punto P.
P es el centro de la circunferencia en la que está inscrito el eneágono, tomamos la longitud del lado dado, y lo vamos pasando por la circunferencia.


Construcción del decágono regular dado el lado. Construimos el pentágono regular dado el lado por el método ya explicado. Hacemos la circunferencia circunscrita al mismo y las mediatrices en cada lado del pentágono regular. Donde estas mediatrices cortan a la circunferencia circunscrita, tenemos los puntos que, sumados a los del pentágono, nos determinan los vértices del decágono regular.

Construcción del decágono dado el radio de la circunferencia circunscrita.
Construimos sobre el semidiámetro vertical una circunferencia tangente a la dada en el punto M y que pase por el centro O de la misma. Unimos el centro de esta circunferencia P, con el punto T. La intersección del segmento PT con la circunferencia de centro P nos determina el punto S. La distancia de S a T es el lado del decágono. Cogemos la medida con el compás y la vamos pasando sucesivamente por la circunferencia.